5.2
Interval Naik, Turun dan Kecekungan Fungsi
Definisi 5.2.1.
Diasumsikan $f$ terdefinisi pada interval $I$ dan $x_1,x_2$ menyatakan
titik-titik pada interval $I$
- $f$ naik pada interval $I$ jika $f(x_1)<f(x_2)$ untuk $x_1<x_2$.
- $f$ turun pada interval $I$ jika $f(x_1)>f(x_2)$ untuk $x_1<x_2$.
- $f$ konstan pada interval $I$ jika $f(x_1)=f(x_2)$ untuk semua $x_1$ dan $x_2$.
Teorema 5.2.1.
Dimisalkan $f$ suatu fungsi kontinu pada interval tertutup $[a,b]$ dan
dapat diturunkan pada interval terbuka $(a,b)$.
- Jika $f'(x)>0$ untuk setiap nilai $x$ dalam $(a,b)$ maka $f$ naik pada $[a,b]$.
- Jika $f'(x)<0$ untuk setiap nilai $x$ dalam $(a,b)$ maka $f$ turun pada $[a,b]$.
- Jika $f'(x)=0$ untuk setiap nilai $x$ dalam $(a,b)$ maka $f$ konstan pada $[a,b]$.
Definisi 5.2.2.
Misal $f$ dapat diturunkan pada suatu interval.
- $f$ disebut cekung ke atas pada suatu interval jika $f'$ naik pada interval tersebut.
- $f$ disebut cekung ke bawah pada suatu interval jika $f'$ turun pada interval tersebut.
Teorema 5.2.2.
- Jika $f''(x)>0$ pada suatu interval terbuka $(a,b)$ maka $f$ cekung ke atas pada $(a,b)$.
- Jika $f''(x)<0$ pada suatu interval terbuka $(a,b)$ maka $f$ cekung ke bawah pada $(a,b)$.
Definisi 5.2.3.
Jika $f$ kontinu pada suatu interval terbuka yang memuat $x_0$ dan
jika $f$ mengubah arah kecekungannya pada $x_0$ maka titik
$(x_0,f(x_0))$ pada grafik $f$ disebut titik belok dan dikatakan $f$
mempunyai titik belok di $x_0$.
Contoh 1
Tunjukkan bahwa $x+\frac{1}{x}>2$ jika $x>1$.
Pembahasan
Misalkan $f(x)=x+\frac{1}{x}$ sehingga $f(1)=1+\frac{1}{1}=1+1=2$.
Perhatikan bahwa \begin{align*} f'(x)&=1+(-x^{-2})\\
&=1-\frac{1}{x^2}\\ &=\frac{x^2-1}{x^2}\\ &=\frac{(x+1)(x-1)}{x^2}
\end{align*} Diperoleh 3 titik pemisah, yaitu $x=-1$, $x=1$, dan
$x=0$. Dengan uji titik menggunakan garis bilangan, diperoleh
interval yang menyebabkan nilai $f'(x)>0$ adalah
$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$. Dengan demikian, $f(x)$ naik pada
interval $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$. Jika $f(1)=2$, maka
$f(x)=x+\frac{1}{x}>2$ untuk $x>1$.
Contoh 2 (EAS 2023/2024)
Diberikan fungsi $f(x)=-3x^5+5x^3$.
- Tentukan selang dimana $f(x)$ naik dan turun.
- Tentukan selang kecekungan fungsi $f(x)$ dan titik belok (jika ada).
Pembahasan
- Diberikan $f(x)=-3x^5+5x^3$. Untuk menentukan interval naik turunnya fungsi $f$, perlu ditinjau nilai $f'(x)$. \begin{align*} f'(x)&=-15x^4+15x^2\\ &=-15x^2(x^2-1)\\ &=-15x^2(x+1)(x-1) \end{align*} Diperoleh 3 titik pemisah, yaitu $x=-1$, $x=1$, dan $x=0$. Dengan uji titik menggunakan garis bilangan, diperoleh interval yang menyebabkan nilai $f'(x)<0$ adalah $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ dan interval yang menyebabkan nilai $f'(x)>0$ adalah $(-1,1)\backslash \{0\}$. Dengan demikian, $f(x)$ naik pada selang $[-1,1]$ dan $f(x)$ turun pada selang $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$.
- Untuk menentukan selang kecekungan fungsi $f$, perlu ditinjau nilai $f''(x)$. Dari poin $(a)$, didapatkan $f'(x)=-15x^4+15x^2$. \begin{align*} f''(x)&=-60x^3+30x\\ &=-30x(2x^2-1)\\ &=-30x(\sqrt{2}x+1)(\sqrt{2}x-1) \end{align*} Diperoleh 3 titik pemisah, yaitu $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$, dan $x=0$. Dengan uji titik menggunakan garis bilangan, diperoleh interval yang menyebabkan nilai $f''(x)<0$ adalah $(-\frac{1}{\sqrt{2}},0)\cup(\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty)$ dan interval yang menyebabkan nilai $f''(x)>0$ adalah $(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}})\cup(0,\frac{1}{\sqrt{2}})$. Dengan demikian, $f(x)$ cekung ke atas pada selang $(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}})\cup(0,\frac{1}{\sqrt{2}})$ dan $f(x)$ cekung ke bawah pada selang $(-\frac{1}{\sqrt{2}},0)\cup(\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty)$. Adapun titik belok adalah titik dimana terjadi perubahan kecekungan. Pada $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah. Pada $x=0$, terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas. Pada $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$, terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas. Dengan demikian, $f$ memiliki 3 titik belok, yaitu $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$, dan $x=0$.
Latihan!
EAS 2024/2025
Diberikan fungsi $f(x)=\frac{x}{x-2024}$. Tentukan selang dimana
fungsi $f(x)$ naik atau turun.
Jawab:
EAS 2024/2025
Diberikan fungsi $f(x)=3x^4-8x^3+6x^2+1$. Tentukan selang
kecekungan fungsi $f(x)$ dan titik belok (jika ada).
Jawab: